Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.3 Berbagai fungsi
TL.3

Berbagai Fungsi dan Grafiknya

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Fenomena nyata punya bentuk yang bermacam-macam: pertumbuhan yang melonjak (eksponen), pasang surut yang berulang (trigonometri), dan besaran yang melonjak di dekat suatu nilai (fungsi rasional). Mengenali keluarga fungsi dan grafiknya memungkinkan kita memilih model yang tepat.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Aljabar dan Fungsi: menyatakan fungsi trigonometri menggunakan lingkaran satuan dan memodelkan fenomena periodik; serta mengenal berbagai fungsi (rasional, akar, eksponensial, logaritma, nilai mutlak, tangga, dan piecewise) dan menggunakannya untuk memodelkan berbagai fenomena.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menentukan domain fungsi rasional, akar, dan logaritma.
  • Mengenali asimtot dan grafik fungsi rasional.
  • Membaca transformasi (geseran) grafik eksponen dan logaritma.
  • Menyatakan nilai fungsi trigonometri dengan lingkaran satuan dan memodelkan fenomena periodik.

📚Materi

1. Domain berbagai fungsi

  • Rasional \( \dfrac{p(x)}{q(x)} \): penyebut \( q(x) \neq 0 \).
  • Akar \( \sqrt{f(x)} \): \( f(x) \ge 0 \).
  • Logaritma \( {}^a\log f(x) \): numerus \( f(x) > 0 \) (dan basis \( a > 0, a \neq 1 \)).

2. Fungsi rasional dan asimtot

Grafik fungsi rasional y = (x+1)/(x−2) dengan asimtot tegak x = 2 dan asimtot datar y = 1.
Fungsi rasional memiliki asimtot tegak di pembuat nol penyebut dan asimtot datar dari perbandingan koefisien utama.
  • Asimtot tegak di nilai x yang membuat penyebut nol (dan pembilang tidak nol).
  • Asimtot datar: jika derajat pembilang = derajat penyebut, \( y = \) perbandingan koefisien utama; jika derajat pembilang lebih kecil, \( y = 0 \).

3. Fungsi eksponen dan logaritma

\( y = a^x \) dan \( y = {}^a\log x \) saling invers (cermin terhadap \( y = x \)). Grafik \( y = k\cdot a^{x-h} + v \) adalah \( y = a^x \) yang digeser: h ke kanan, v ke atas; asimtot datar menjadi \( y = v \). Untuk logaritma, geseran mengubah asimtot tegaknya.

4. Fungsi trigonometri dan lingkaran satuan

Lingkaran satuan berjari-jari 1; sebuah titik pada lingkaran membentuk sudut theta dan berkoordinat (cos theta, sin theta).
Pada lingkaran satuan, titik sudut θ berkoordinat (cos θ, sin θ); ini memperluas trigonometri ke semua sudut.

Lingkaran satuan memperluas sin dan cos ke sembarang sudut (dan sudut negatif). Fungsi \( y = A\sin(Bx + C) + D \) memodelkan fenomena periodik: amplitudo \( |A| \), periode \( \dfrac{2\pi}{|B|} \) (atau \( \dfrac{360^\circ}{|B|} \)), pergeseran fase dari C, dan garis tengah \( y = D \). Contoh: ketinggian air pasang surut, \( h(t) = 2\sin(30^\circ t) + 5 \) meter.

✏️Contoh soal

Ketinggian air laut dimodelkan \( h(t) = 1{,}5\cos(30^\circ t) + 3 \) meter, dengan t jam setelah tengah malam. Tentukan ketinggian maksimum, periodenya, dan kapan air pertama kali mencapai 3 m.

Maksimum = \( D + |A| = 3 + 1{,}5 = 4{,}5 \) m (saat \( \cos = 1 \), yaitu t = 0). Periode \( = \dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12 \) jam.

\( h = 3 \Rightarrow \cos(30^\circ t) = 0 \Rightarrow 30^\circ t = 90^\circ \Rightarrow t = 3 \) jam.

Periksa. Garis tengah \( y = 3 \) dicapai seperempat periode setelah puncak: \( 12/4 = 3 \) jam. Sesuai.
Jebakan. Memakai \( 2\pi \) untuk periode padahal argumennya dalam derajat. Samakan satuan sudut lebih dulu.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Tentukan domain \( f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 9} \).
Semua bilangan real kecuali \( x = \pm 3 \).
2. Tentukan domain \( g(x) = {}^2\log(x - 5) \).
\( x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \).
3. Tentukan asimtot tegak dan datar \( y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \).
Asimtot tegak \( x = -3 \); asimtot datar \( y = 2 \).
4. Grafik \( y = 3^x \) digeser 2 ke kanan dan 1 ke bawah. Tuliskan persamaan dan asimtotnya.
\( y = 3^{x-2} - 1 \); asimtot \( y = -1 \).
5. Tentukan amplitudo dan periode \( y = 4\sin(2x) \) (x dalam radian).
Amplitudo 4; periode \( \dfrac{2\pi}{2} = \pi \).
6. Nilai fungsi \( y = \cos\theta \) untuk \( \theta = 120^\circ \) dengan lingkaran satuan.
\( \cos 120^\circ = -\tfrac12 \) (kuadran II, cos negatif).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 8 PG — Menentukan waktu tertentu dari model fungsi trigonometri dalam konteks pasang surut air laut.
  • Paket 1 · Soal 9 PG — Menentukan domain fungsi logaritma.
  • Paket 1 · Soal 10 PG — Mengidentifikasi grafik fungsi eksponensial yang telah digeser.
  • Paket 1 · Soal 11 PGK Kategori — Menganalisis asimtot, domain dan daerah hasil fungsi rasional.
  • Paket 2 · Soal 8 PGK Kategori — Menganalisis nilai, pembuat nol, dan daerah hasil fungsi nilai mutlak dari grafiknya.
  • Paket 2 · Soal 9 PG — Membentuk model fungsi eksponensial penyusutan dari grafik dan menggunakannya.
  • Paket 2 · Soal 10 PG — Menyelesaikan persamaan logaritma dengan memperhatikan syarat domain.
  • Paket 2 · Soal 11 PG — Menentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode fungsi trigonometri.