Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.5 Lingkaran
TL.5

Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Lingkaran bukan hanya bangun datar: sebagai himpunan titik berjarak tetap dari pusat, ia punya persamaan yang memungkinkan kita menguji kedudukan titik, mencari titik potong dengan garis, dan menentukan garis singgung — berguna di desain, orbit, dan jangkauan sinyal.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Geometri: menyatakan sifat-sifat geometri dari persamaan lingkaran, elips, dan persamaan garis singgung. Halaman ini berfokus pada persamaan lingkaran dan garis singgungnya.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menulis persamaan lingkaran berpusat di O dan di (a, b).
  • Menentukan pusat dan jari-jari dari bentuk umum.
  • Menentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran.
  • Menentukan persamaan garis singgung di suatu titik dan dengan gradien tertentu.

📚Materi

1. Persamaan lingkaran

\[ x^2 + y^2 = r^2 \quad (\text{pusat } O), \qquad (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad (\text{pusat } (a, b)) \]

Bentuk umum \( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \) memiliki pusat \( \left(-\tfrac{A}{2}, -\tfrac{B}{2}\right) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{\left(\tfrac{A}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{B}{2}\right)^2 - C} \).

2. Kedudukan titik dan garis

Masukkan titik \( (x_0, y_0) \) ke ruas kiri \( (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^2 \): hasil < 0 di dalam, = 0 pada lingkaran, > 0 di luar.

Untuk garis dan lingkaran, substitusikan garis ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat; diskriminan D menentukan: D > 0 memotong dua titik, D = 0 menyinggung, D < 0 tidak memotong.

3. Garis singgung

Lingkaran berpusat O berjari-jari 3; garis menyinggung lingkaran di titik (1,8; 2,4), tegak lurus jari-jari di titik itu.
Garis singgung tegak lurus jari-jari di titik singgungnya.
  • Di titik \( (x_1, y_1) \) pada lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \): \( x_1 x + y_1 y = r^2 \).
  • Pada \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \): \( (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \).
  • Dengan gradien m: pada lingkaran pusat O, \( y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} \).

✏️Contoh soal

Diketahui lingkaran \( x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 \). Tentukan pusat dan jari-jarinya, periksa kedudukan titik \( (5, 3) \), dan tentukan garis singgung di titik itu bila ia pada lingkaran.

Pusat \( \left(\tfrac{4}{2}, -\tfrac{2}{2}\right) = (2, -1) \); \( r = \sqrt{2^2 + 1^2 + 20} = \sqrt{25} = 5 \).

Uji \( (5, 3) \): \( (5-2)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25 = r^2 \) → titik pada lingkaran.

Garis singgung di titik pada lingkaran berpusat (a, b): \( (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \).

\[ (5-2)(x-2) + (3+1)(y+1) = 25 \Rightarrow 3(x-2) + 4(y+1) = 25 \Rightarrow 3x + 4y = 27 \]
Periksa. Substitusi titik singgung \( (5, 3) \): \( 3(5) + 4(3) = 15 + 12 = 27 \). Garis benar melewati titik itu.
Jebakan. Menyederhanakan terlalu cepat. Uraikan \( 3(x-2) + 4(y+1) \) menjadi \( 3x - 6 + 4y + 4 \) sebelum memindahkan konstanta ke ruas kanan.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Tulis persamaan lingkaran berpusat (3, −2) berjari-jari 4.
\( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \).
2. Tentukan pusat dan jari-jari \( x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0 \).
Pusat \( (-3, 4) \), \( r = \sqrt{9 + 16} = 5 \).
3. Apakah titik (1, 1) di dalam atau di luar \( x^2 + y^2 = 4 \)?
\( 1 + 1 = 2 < 4 \): di dalam.
4. Tentukan garis singgung \( x^2 + y^2 = 25 \) di titik (3, 4).
\( 3x + 4y = 25 \).
5. Tentukan garis singgung \( x^2 + y^2 = 20 \) yang bergradien 2.
\( y = 2x \pm \sqrt{20}\sqrt{5} = 2x \pm 10 \).
6. Garis \( y = x + c \) menyinggung \( x^2 + y^2 = 8 \). Tentukan c.
\( c = \pm r\sqrt{1 + m^2} = \pm\sqrt8\cdot\sqrt2 = \pm 4 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 16 PGK MCMA — Menganalisis pusat, jari-jari dan kedudukan titik terhadap lingkaran.
  • Paket 1 · Soal 17 PG — Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik dan titik potongnya dengan sumbu koordinat.
  • Paket 1 · Soal 18 PG — Menentukan luas tembereng lingkaran.
  • Paket 2 · Soal 16 PG — Menentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu koordinat.
  • Paket 2 · Soal 17 PG — Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis tertentu.
  • Paket 2 · Soal 18 PGK Kategori — Menentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran.
  • Paket 2 · Soal 19 PG — Menentukan keliling juring lingkaran dari sudut pusat dan jari-jari.