Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.6 Transformasi geometri
TL.6

Transformasi Geometri dengan Matriks

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Menggeser, mencerminkan, memutar, dan memperbesar bangun — semua gerakan ini dapat ditulis sebagai perkalian matriks. Itulah cara komputer grafis dan animasi bekerja, dan cara matematikawan menggabungkan beberapa transformasi menjadi satu.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Aljabar dan Fungsi: melakukan operasi aljabar pada matriks dan menerapkannya dalam transformasi geometri. Materi matriks dibahas di halaman Matriks.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menuliskan matriks transformasi untuk refleksi, rotasi, dan dilatasi.
  • Menentukan bayangan titik dan bangun dengan perkalian matriks.
  • Menggabungkan transformasi sebagai perkalian matriks (komposisi).
  • Menghubungkan determinan matriks dengan perubahan luas bayangan.

📚Materi

1. Matriks transformasi

Bayangan titik \( \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) (translasi ditambahkan terpisah).

TransformasiMatriks
Refleksi sumbu x\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Refleksi sumbu y\( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Refleksi garis y = x\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Rotasi pusat O sebesar θ\( \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \)
Dilatasi pusat O faktor k\( \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \)
Sebuah segitiga dan bayangannya setelah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
Rotasi 90° terhadap O memetakan (x, y) ke (−y, x).

2. Komposisi transformasi

Transformasi \( T_1 \) lalu \( T_2 \) diwakili oleh perkalian matriks \( M_2 M_1 \) (matriks yang dikerjakan lebih dulu ditulis di sebelah kanan). Urutan penting karena perkalian matriks tidak komutatif.

3. Luas bayangan

Luas bangun setelah ditransformasi oleh matriks M menjadi \( |\det M| \times \) luas asal. Rotasi dan refleksi memiliki \( |\det| = 1 \) (luas tetap); dilatasi faktor k memiliki \( \det = k^2 \) (luas menjadi \( k^2 \) kali).

✏️Contoh soal

Titik \( A(2, 1) \) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O, lalu didilatasi pusat O faktor 3. Tentukan matriks komposisi dan bayangan A. Berapa kali luas bangun berubah?

Rotasi 90°: \( R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \); dilatasi: \( D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). Komposisi (dilatasi setelah rotasi): \( M = DR = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \).

\[ M\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A'(-3, 6) \]

\( \det M = 0 - (-9) = 9 \), jadi luas menjadi 9 kali (sesuai \( 3^2 \)).

Periksa. Rotasi 90° memetakan \( (2,1)\to(-1,2) \); dilatasi ×3 memberi \( (-3, 6) \). Cocok.
Jebakan. Menulis komposisi sebagai \( RD \). Transformasi yang dikerjakan lebih dulu (rotasi) ada di kanan: \( DR \).

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Tentukan bayangan (4, −2) oleh refleksi terhadap garis y = x.
\( (-2, 4) \).
2. Tuliskan matriks rotasi 180° terhadap O.
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \).
3. Tentukan bayangan (1, 2) oleh dilatasi pusat O faktor −2.
\( (-2, -4) \).
4. Segitiga berluas 6 satuan ditransformasi oleh \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). Berapa luas bayangannya?
\( |\det| = 6 \), luas \( 6 \times 6 = 36 \) satuan.
5. Tentukan matriks komposisi: refleksi sumbu x dilanjutkan rotasi 90° terhadap O.
\( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) (refleksi y = x).
6. Bayangan garis \( y = 2x + 1 \) oleh translasi \( \binom{3}{-2} \). Tentukan persamaannya.
Ganti \( x \to x - 3,\ y \to y + 2 \): \( y + 2 = 2(x - 3) + 1 \Rightarrow y = 2x - 7 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 19 PG — Menentukan matriks komposisi rotasi dan dilatasi serta bayangan sebuah titik.
  • Paket 1 · Soal 20 PG — Menentukan luas bayangan bangun datar hasil transformasi matriks.
  • Paket 1 · Soal 21 PG — Menentukan bayangan garis oleh komposisi refleksi dan translasi.
  • Paket 1 · Soal 22 PG — Menentukan persamaan bayangan lingkaran oleh dilatasi dan translasi.
  • Paket 2 · Soal 20 PG — Menentukan bayangan titik oleh komposisi refleksi dan rotasi menggunakan matriks.
  • Paket 2 · Soal 21 PG — Menentukan persamaan bayangan kurva parabola oleh dilatasi.
  • Paket 2 · Soal 22 PG — Menentukan luas bayangan bangun datar oleh transformasi matriks dengan determinan negatif.