Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.4 Vektor
TL.4

Vektor pada Bidang dan Ruang

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Kecepatan pesawat terhadap angin, gaya pada struktur, dan arah gerak drone semuanya punya besar dan arah — itulah vektor. Aljabar vektor memungkinkan kita menjumlahkan pengaruh, mengukur sudut, dan membuktikan sifat geometri dengan perhitungan.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Geometri: menyatakan vektor pada bidang datar dan melakukan operasi aljabar pada vektor; serta melakukan pembuktian geometris menggunakan vektor.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menyatakan vektor dalam komponen dan menghitung panjangnya.
  • Menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan vektor dengan skalar.
  • Menghitung perkalian skalar (dot product) dan sudut antarvektor.
  • Menggunakan kesamaan vektor untuk menyelesaikan masalah geometri.

📚Materi

1. Komponen dan panjang

Vektor di bidang \( \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \); di ruang ditambah komponen ketiga. Panjang (besar):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}, \qquad |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \ (\text{di } \mathbb{R}^3) \]

Vektor satuan searah \( \vec{a} \) adalah \( \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \). Vektor dari titik A ke B: \( \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \).

2. Operasi aljabar

Dua vektor a dan b dari titik asal; resultan a + b adalah diagonal jajargenjang yang dibentuknya.
Penjumlahan vektor: metode segitiga (ujung ke pangkal) atau jajargenjang memberi hasil yang sama.

Penjumlahan dan pengurangan dilakukan per komponen. Perkalian skalar \( k\vec{a} \) memperbesar (atau membalik arah jika k negatif). Resultan dua kecepatan atau gaya adalah penjumlahan vektornya.

3. Perkalian skalar dan sudut

\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \]

Maka \( \cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \). Dua vektor tegak lurus jika \( \vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \).

4. Pembuktian dengan vektor

Kesamaan vektor membantu masalah bangun datar: pada jajargenjang ABCD berlaku \( \vec{AB} = \vec{DC} \); titik tengah dan titik bagi dapat dinyatakan sebagai kombinasi vektor posisi. Contoh: titik P membagi AB dengan perbandingan \( m : n \) memiliki vektor posisi \( \vec{p} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n} \).

✏️Contoh soal

Diketahui \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) dan \( \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Tentukan \( |\vec{a}| \), \( \vec{a}\cdot\vec{b} \), dan sudut antara keduanya.

\( |\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5 \), \( |\vec{b}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5 \).

\( \vec{a}\cdot\vec{b} = (3)(-1) + (4)(2) = 5 \).

\[ \cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5} \approx 0{,}447 \Rightarrow \theta \approx 63{,}4^\circ \]
Periksa. Dot product positif → sudut lancip, sesuai dengan \( \theta < 90^\circ \).
Jebakan. Menjumlahkan komponen saat menghitung dot product. Dot product mengalikan komponen yang bersesuaian lalu menjumlahkan hasilnya.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Tentukan panjang \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
\( \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \).
2. Jika \( \vec{a} = (1, 3) \) dan \( \vec{b} = (4, -2) \), hitung \( 2\vec{a} - \vec{b} \).
\( (2 - 4,\ 6 + 2) = (-2, 8) \).
3. Tentukan p agar \( (p, 2) \) tegak lurus \( (3, -6) \).
\( 3p - 12 = 0 \Rightarrow p = 4 \).
4. Tentukan vektor satuan searah \( (6, 8) \).
\( |\vec{v}| = 10 \), \( \hat{v} = (0{,}6,\ 0{,}8) \).
5. Panjang \( (k, 3) \) adalah 5. Tentukan k.
\( k^2 + 9 = 25 \Rightarrow k = \pm 4 \).
6. Drone bergerak \( (3, 4) \) km/jam dan tertiup angin \( (1, -1) \) km/jam. Tentukan kecepatan terhadap tanah dan besarnya.
Resultan \( (4, 3) \); besar \( \sqrt{16 + 9} = 5 \) km/jam.

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 12 PGK MCMA — Menentukan nilai parameter pembentuk vektor jika panjang vektor diketahui.
  • Paket 1 · Soal 13 PGK Kategori — Menganalisis resultan dua vektor kecepatan dalam konteks gerak drone.
  • Paket 1 · Soal 14 PG — Menentukan titik sudut jajargenjang menggunakan kesamaan vektor.
  • Paket 1 · Soal 15 PG — Menentukan sudut antara dua vektor menggunakan hasil kali skalar.
  • Paket 2 · Soal 12 PG — Menentukan panjang jumlah dua vektor dari panjang masing-masing dan sudut apitnya.
  • Paket 2 · Soal 13 PGK MCMA — Menganalisis panjang, hasil kali skalar, dan kedudukan dua vektor di ruang.
  • Paket 2 · Soal 14 PG — Menentukan koordinat titik yang membagi ruas garis di ruang dengan perbandingan tertentu.
  • Paket 2 · Soal 15 PGK Kategori — Menganalisis resultan kecepatan perahu yang menyeberangi sungai berarus.