Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.7 Limit
TL.7

Limit Fungsi

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Apa yang terjadi pada suatu besaran ketika variabelnya mendekati suatu nilai — atau bertambah tanpa batas? Limit menjawab pertanyaan itu dengan presisi, dan menjadi gerbang menuju kalkulus: turunan dan integral keduanya didefinisikan sebagai limit.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Kalkulus: memahami laju perubahan dan laju perubahan rata-rata, serta laju perubahan sesaat sebagai konsep kunci derivatif. Limit adalah dasar konsep itu; halaman ini membahas perhitungan limit fungsi.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menghitung limit fungsi aljabar dengan substitusi langsung.
  • Menangani bentuk tak tentu 0/0 dengan pemfaktoran dan perkalian sekawan.
  • Menentukan limit di ketakhinggaan untuk fungsi rasional.
  • Menghitung limit fungsi trigonometri dengan limit dasar dan identitas.

📚Materi

1. Limit dengan substitusi

Jika \( f \) kontinu di \( x = a \), maka \( \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a) \). Coba substitusi lebih dulu; bila hasilnya bilangan, itulah limitnya.

2. Bentuk tak tentu 0/0

Jika substitusi memberi \( \tfrac00 \), ada faktor yang dapat dihilangkan:

  • Pemfaktoran: \( \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x\to 2}(x + 2) = 4 \).
  • Perkalian sekawan (untuk bentuk akar): kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan akarnya.
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{(x + 9) - 9}{x(\sqrt{x+9} + 3)} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3} = \frac16 \]

3. Limit di ketakhinggaan

Grafik fungsi rasional yang nilainya makin mendekati garis y = 2 ketika x makin besar.
Untuk x menuju tak hingga, fungsi rasional mendekati asimtot datarnya.

Untuk \( x\to\infty \), bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi. Bila derajat sama, limitnya perbandingan koefisien utama; bila derajat pembilang lebih kecil, limitnya 0; bila lebih besar, limitnya \( \pm\infty \).

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x + 10}{x + 1} = \lim_{x\to\infty}\frac{2 + 10/x}{1 + 1/x} = 2 \]

4. Limit fungsi trigonometri

Limit dasar (x dalam radian): \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \) dan \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1 \). Gunakan identitas untuk mengubah bentuk ke limit dasar ini.

✏️Contoh soal

Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3} \) dan \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{2x} \).

Substitusi x = 3 memberi \( \tfrac00 \). Faktorkan: \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \).

\[ \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+2)}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x + 2) = 5 \]
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{4x}{2x} = 1 \cdot 2 = 2 \]
Periksa. Untuk limit trig, sesuaikan agar argumen sin sama dengan penyebutnya (4x), lalu kalikan faktor penyeimbang.
Jebakan. Menyimpulkan limit tidak ada karena penyebut nol. Bila pembilang juga nol, faktor penyebabnya bisa dihilangkan.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to 1}(3x^2 - 2x + 1) \).
Substitusi: \( 3 - 2 + 1 = 2 \).
2. Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^2 - 4}{x + 2} \).
\( \lim (x - 2) = -4 \).
3. Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \).
Kalikan sekawan: \( \dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to \dfrac14 \).
4. Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5} \).
Perbandingan koefisien utama: 3.
5. Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1} \).
Derajat pembilang lebih kecil: 0.
6. Hitung \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan 3x}{x} \).
\( \dfrac{\tan 3x}{3x}\cdot 3 \to 1\cdot 3 = 3 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 23 PG — Menentukan nilai limit fungsi aljabar bentuk tak tentu dengan perkalian sekawan.
  • Paket 1 · Soal 24 PG — Menentukan kecenderungan nilai fungsi rasional di ketakhinggaan dalam konteks sehari-hari.
  • Paket 1 · Soal 25 PG — Menentukan nilai limit fungsi trigonometri menggunakan identitas trigonometri.
  • Paket 2 · Soal 23 PG — Menentukan limit bentuk tak tentu 0/0 dengan pemfaktoran.
  • Paket 2 · Soal 24 PG — Menentukan limit di tak hingga bentuk selisih akar dengan perkalian sekawan.
  • Paket 2 · Soal 25 PG — Menentukan limit fungsi trigonometri menggunakan identitas sudut rangkap.