Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.1 Matriks
TL.1

Matriks: Operasi, Determinan, dan Invers

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Matriks adalah cara ringkas menyimpan dan mengolah data berbentuk tabel — dari harga barang, jaringan transportasi, sampai transformasi gambar pada komputer. Operasinya juga menjadi alat cepat untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Aljabar dan Fungsi: melakukan operasi aljabar pada matriks dan menerapkannya dalam transformasi geometri. Halaman ini membahas operasi, determinan, dan invers; penerapan pada transformasi ada di halaman tersendiri.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan matriks (termasuk dengan skalar).
  • Menghitung determinan dan invers matriks ordo 2×2 dan 3×3.
  • Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan invers matriks dan dengan determinan (aturan Cramer).

📚Materi

1. Operasi matriks

Penjumlahan dan pengurangan dilakukan pada unsur yang bersesuaian (ordo harus sama). Perkalian skalar mengalikan semua unsur. Perkalian matriks \( A_{m\times n} \cdot B_{n\times p} \) menghasilkan matriks \( m\times p \): unsur baris ke-i kolom ke-j adalah jumlah hasil kali baris ke-i A dengan kolom ke-j B. Perkalian matriks umumnya tidak komutatif: \( AB \neq BA \).

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix} \]

2. Determinan dan invers 2×2

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \det A = ad - bc, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Invers ada hanya jika \( \det A \neq 0 \) (matriks nonsingular). Sifat: \( \det(AB) = \det A \cdot \det B \) dan \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \).

3. Determinan 3×3

Dengan aturan Sarrus, salin dua kolom pertama di sebelah kanan, lalu jumlahkan hasil kali diagonal turun dan kurangi hasil kali diagonal naik:

\[ \det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi \]

Invers 3×3 dapat dicari dengan adjoin: \( A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,\text{adj}(A) \), dengan adj(A) adalah transpos matriks kofaktor.

4. Menyelesaikan sistem persamaan linear

Sistem \( \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \) ditulis \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), sehingga \( \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \). Alternatif, aturan Cramer: \( x = \dfrac{\det A_x}{\det A},\ y = \dfrac{\det A_y}{\det A} \), dengan \( A_x \) kolom x diganti \( \mathbf{b} \).

✏️Contoh soal

Diketahui \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \). Tentukan \( A^{-1} \) dan gunakan untuk menyelesaikan \( 2x + y = 4,\ 3x + 2y = 7 \).

\( \det A = 2\cdot 2 - 1\cdot 3 = 1 \), sehingga \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \).

\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot4 - 1\cdot7 \\ -3\cdot4 + 2\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Periksa. \( 2(1) + 2 = 4 \) dan \( 3(1) + 2(2) = 7 \). Benar.
Jebakan. Menukar posisi a dan d atau lupa tanda negatif pada b dan c saat menulis invers.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Hitung \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \).
\( \begin{pmatrix} 8 & 11 \\ 6 & 15 \end{pmatrix} \).
2. Tentukan determinan \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \).
\( 18 - 8 = 10 \).
3. Tentukan invers \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).
\( \det = -2 \), \( A^{-1} = -\tfrac12\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix} \).
4. Untuk nilai p berapa matriks \( \begin{pmatrix} p & 2 \\ 8 & p \end{pmatrix} \) tidak punya invers?
\( p^2 - 16 = 0 \Rightarrow p = \pm 4 \).
5. Hitung determinan \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \) dengan Sarrus.
\( (1)(-1)(4) + (2)(1)(2) + 0 - 0 - 0 - (2)(3)(4) = -4 + 4 - 24 = -24 \).
6. Selesaikan \( x + y = 5,\ 2x - y = 1 \) dengan aturan Cramer.
\( \det A = -3 \); \( x = \dfrac{\det\left(\begin{smallmatrix}5&1\\1&-1\end{smallmatrix}\right)}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2 \), \( y = 3 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 1 PG — Menentukan invers matriks berordo 2 × 2.
  • Paket 1 · Soal 2 PG — Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dalam konteks sehari-hari menggunakan invers matriks.
  • Paket 1 · Soal 3 PG — Menentukan nilai unsur matriks berordo 3 × 3 jika determinannya diketahui.
  • Paket 1 · Soal 4 PGK Kategori — Menganalisis sifat perkalian dan determinan matriks.
  • Paket 2 · Soal 1 PG — Menentukan hasil perkalian dua matriks berordo 2 × 2.
  • Paket 2 · Soal 2 PG — Menentukan nilai parameter agar matriks berordo 2 × 2 tidak memiliki invers.
  • Paket 2 · Soal 3 PG — Menyelesaikan persamaan matriks XA = B menggunakan invers matriks.
  • Paket 2 · Soal 4 PGK Kategori — Menganalisis pola perpangkatan matriks dan sifat determinan.