Beranda › Learning Hub › Matematika Lanjut SMA › TL.2 Polinomial
TL.2

Polinomial: Operasi, Teorema Sisa, dan Teorema Faktor

Fase F Tingkat Lanjut · Kelas XI–XII

Polinomial (suku banyak) muncul saat memodelkan volume, lintasan, dan tren data. Membaginya, mencari faktornya, dan menentukan akar-akarnya adalah keterampilan inti untuk menyelesaikan persamaan berderajat tinggi tanpa menebak-nebak.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F Tingkat Lanjut, elemen Aljabar dan Fungsi: melakukan operasi aritmetika pada polinomial, menentukan faktor polinomial, dan menggunakan identitas polinomial untuk menyelesaikan masalah.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan polinomial.
  • Membagi polinomial dengan cara bersusun dan dengan skema Horner.
  • Menerapkan teorema sisa dan teorema faktor.
  • Menentukan akar-akar polinomial serta jumlah dan hasil kali akar.

📚Materi

1. Pembagian polinomial

Untuk \( P(x) = (x - k)\,H(x) + s \), H(x) adalah hasil bagi dan s adalah sisa. Pembagian oleh \( (x - k) \) paling cepat dengan skema Horner: tulis koefisien P(x), turunkan koefisien pertama, kalikan k lalu tambahkan ke koefisien berikutnya, dan seterusnya; bilangan terakhir adalah sisa.

2. Teorema sisa dan teorema faktor

  • Teorema sisa: sisa pembagian \( P(x) \) oleh \( (x - k) \) adalah \( P(k) \). Oleh \( (ax - b) \), sisanya \( P(b/a) \).
  • Jika dibagi fungsi kuadrat, sisanya berbentuk \( px + q \); cari p dan q dengan mensubstitusikan dua akar pembaginya.
  • Teorema faktor: \( (x - k) \) adalah faktor \( P(x) \) jika dan hanya jika \( P(k) = 0 \).
Grafik polinomial berderajat empat yang memotong sumbu x di x = −2, −1, 1, dan 3.
Polinomial berderajat n memotong sumbu x di akar-akar realnya (paling banyak n akar).

3. Akar-akar polinomial

Akar rasional \( p/q \) dari polinomial berkoefisien bulat memenuhi: p membagi konstanta, q membagi koefisien utama (teorema akar rasional). Setelah satu akar ditemukan dan difaktorkan dengan Horner, polinomial sisanya berderajat lebih rendah dan lebih mudah.

Untuk \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) dengan akar \( x_1, x_2, x_3 \):

\[ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \]

✏️Contoh soal

Diketahui \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 \). Tunjukkan bahwa \( (x - 3) \) adalah faktor, lalu tentukan semua akarnya.

\( P(3) = 2(27) - 3(9) - 11(3) + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0 \), jadi \( (x - 3) \) faktor.

Horner dengan k = 3 pada koefisien \( 2, -3, -11, 6 \) memberi hasil bagi \( 2x^2 + 3x - 2 \).

\[ 2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = \tfrac12 \text{ atau } x = -2 \]

Akar-akarnya: \( x = 3,\ \tfrac12,\ -2 \).

Periksa. Jumlah akar \( 3 + \tfrac12 - 2 = \tfrac32 = -\dfrac{-3}{2} \). Sesuai.
Jebakan. Lupa menuliskan 0 pada skema Horner untuk suku yang koefisiennya nol (misalnya tak ada suku \( x^2 \)).

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Tentukan sisa pembagian \( x^3 - 2x^2 + 4 \) oleh \( (x - 2) \).
\( P(2) = 8 - 8 + 4 = 4 \).
2. Apakah \( (x + 1) \) faktor dari \( x^3 + 2x^2 - x - 2 \)?
\( P(-1) = -1 + 2 + 1 - 2 = 0 \). Ya, faktor.
3. Jika \( x^3 - 4x^2 + x + 6 \) habis dibagi \( (x - 2) \), tentukan hasil baginya.
Horner (k=2): \( x^2 - 2x - 3 \).
4. Suku banyak dibagi \( (x - 1) \) sisa 3, dibagi \( (x + 2) \) sisa −6. Tentukan sisa jika dibagi \( (x-1)(x+2) \).
Sisa \( px + q \): \( p + q = 3 \), \( -2p + q = -6 \) → \( p = 3, q = 0 \); sisa \( 3x \).
5. Akar-akar \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \) adalah bilangan bulat. Tentukan ketiganya.
Kandidat pembagi 6: x = 1, 2, 3 semuanya akar. \( (x-1)(x-2)(x-3) \).
6. Volume balok \( V(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \) cm³. Jika salah satu rusuknya \( (x + 1) \), tentukan dua rusuk lainnya.
Horner (k=−1): \( x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) \). Rusuk \( (x+2) \) dan \( (x+3) \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 5 PG — Menentukan sisa pembagian polinomial oleh fungsi kuadrat menggunakan teorema sisa.
  • Paket 1 · Soal 6 PG — Menentukan ukuran dimensi bangun ruang dari polinomial volumenya.
  • Paket 1 · Soal 7 PGK Kategori — Menganalisis faktor dan akar-akar polinomial berderajat empat.
  • Paket 2 · Soal 5 PG — Menentukan koefisien polinomial dari sisa pembagian, lalu sisa pembagian oleh faktor linear lain.
  • Paket 2 · Soal 6 PGK MCMA — Menentukan faktor, akar, serta jumlah dan hasil kali akar polinomial berderajat tiga.
  • Paket 2 · Soal 7 PG — Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial oleh polinomial berderajat dua.