Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › F.1 Barisan, deret, bunga
F.1

Barisan, Deret, Bunga, dan Anuitas

Fase F · Kelas XI–XII

Tabungan yang bertambah setiap bulan, cicilan motor, dan jumlah kursi di gedung pertunjukan yang bertambah tiap baris — semuanya pola bilangan. Barisan dan deret memberi rumus untuk pola itu, dan menjadi dasar perhitungan bunga tunggal, bunga majemuk, serta anuitas pinjaman.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F, elemen Bilangan: menjelaskan barisan dan deret (aritmetika dan geometri), menerapkannya pada beragam masalah terutama masalah bunga tunggal dan majemuk, memodelkan pinjaman dan investasi dengan bunga majemuk dan anuitas, serta menyelidiki pengaruh masing-masing parameter (suku bunga, periode pembayaran) dalam model tersebut.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku barisan aritmetika dan geometri.
  • Menghitung jumlah deret geometri tak hingga.
  • Menghitung bunga tunggal dan bunga majemuk.
  • Menjelaskan anuitas dan pengaruh suku bunga serta periode terhadap cicilan.

📚Materi

1. Barisan dan deret aritmetika

Selisih tetap b antara suku berurutan.

\[ U_n = a + (n - 1)b, \qquad S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b) = \frac{n}{2}(a + U_n) \]

Jika dua suku diketahui, misalnya \( U_3 \) dan \( U_8 \), kurangkan: \( U_8 - U_3 = 5b \).

2. Barisan dan deret geometri

Rasio tetap r antara suku berurutan.

\[ U_n = ar^{n-1}, \qquad S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \ (r \neq 1) \]

Jika suku pertama a dan suku terakhir \( U_n \) diketahui: \( S_n = \dfrac{rU_n - a}{r - 1} \).

Deret tak hingga konvergen jika \( -1 < r < 1 \): \( S_\infty = \dfrac{a}{1 - r} \). Contoh klasik: bola jatuh dari ketinggian h dan memantul dengan rasio r. Panjang lintasan total \( = h + 2 \cdot \dfrac{hr}{1 - r} \) (setiap pantulan naik lalu turun).

3. Bunga tunggal dan majemuk

\[ \text{tunggal: } M_n = M_0(1 + ni), \qquad \text{majemuk: } M_n = M_0(1 + i)^n \]

Bunga tunggal dihitung dari modal awal saja (barisan aritmetika); bunga majemuk dihitung dari modal yang sudah ditambah bunga (barisan geometri). Jika bunga dimajemukkan k kali setahun dengan bunga tahunan j, pakai \( i = j/k \) dan \( n = k \times \) jumlah tahun.

4. Anuitas

Anuitas adalah pembayaran tetap per periode yang terdiri atas angsuran pokok dan bunga. Bagian bunga mengecil dan bagian pokok membesar dari periode ke periode, karena sisa pinjaman berkurang. Untuk pinjaman M dengan bunga i per periode selama n periode:

\[ A = M \cdot \frac{i}{1 - (1 + i)^{-n}} \]

Suku bunga lebih tinggi atau jangka waktu lebih pendek memperbesar anuitas; jangka waktu lebih panjang memperkecil cicilan tetapi memperbesar total bunga yang dibayar.

✏️Contoh soal

Dina menabung Rp5.000.000 dengan bunga majemuk 6% per tahun. Rafi menabung jumlah yang sama dengan bunga tunggal 6% per tahun. Berapa selisih tabungan mereka setelah 3 tahun?

Dina: \( 5.000.000 \times 1{,}06^3 = 5.000.000 \times 1{,}191016 = 5.955.080 \).

Rafi: \( 5.000.000 \times (1 + 3 \times 0{,}06) = 5.900.000 \).

Selisih: Rp55.080.

Periksa. Tahun pertama keduanya sama (Rp5.300.000); perbedaan muncul karena bunga Dina di tahun kedua juga dihitung dari bunga tahun pertama.
Jebakan. Menghitung bunga majemuk sebagai \( 5.000.000 \times 1{,}18 \) — itu bunga tunggal.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Suku ke-3 barisan aritmetika 11 dan suku ke-8 26. Hitung jumlah 20 suku pertama.
\( 5b = 15 \Rightarrow b = 3 \), \( a = 5 \). \( S_{20} = 10(10 + 57) = 670 \).
2. Gedung memiliki 20 kursi di baris pertama, dan setiap baris berikutnya 2 kursi lebih banyak. Berapa kursi pada 15 baris?
\( S_{15} = \tfrac{15}{2}(40 + 28) = 510 \) kursi.
3. Deret geometri 3 + 6 + 12 + … + 384. Hitung jumlahnya.
r = 2: \( S = \dfrac{2 \cdot 384 - 3}{1} = 765 \).
4. Bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul \( \tfrac34 \) tinggi sebelumnya. Hitung panjang lintasan sampai berhenti.
\( 10 + 2 \cdot \dfrac{7{,}5}{1 - 0{,}75} = 10 + 60 = 70 \) m.
5. Modal Rp2.000.000 dengan bunga majemuk 10% per tahun. Berapa nilainya setelah 2 tahun?
\( 2.000.000 \times 1{,}21 = \text{Rp}2.420.000 \).
6. Pinjaman sama besar, bunga sama, tetapi jangka 2 tahun dan 4 tahun. Mana yang cicilannya lebih kecil, dan mana yang total bunganya lebih kecil?
Jangka 4 tahun: cicilan lebih kecil. Jangka 2 tahun: total bunga lebih kecil.

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 7 PG — Menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan jumlah n suku pertama deret aritmetika.
  • Paket 1 · Soal 8 PG — Menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan deret geometri tak hingga.
  • Paket 2 · Soal 3 PGK Kategori — Menggunakan bilangan berpangkat untuk menganalisis pertumbuhan tabungan dengan bunga majemuk.
  • Paket 2 · Soal 7 PG — Menentukan jumlah suku deret geometri dari suku pertama dan suku terakhir.
  • Paket 2 · Soal 8 PG — Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dari dua suku yang diketahui.