Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › F.3 Lingkaran
F.3

Lingkaran: Unsur, Sudut, dan Garis Singgung

Fase F · Kelas XI–XII

Roda, jam dinding, potongan pizza, dan lintasan satelit — lingkaran ada di mana-mana. Halaman ini membahas hubungan antara unsur-unsur lingkaran: sudut pusat dan sudut keliling, panjang busur dan luas juring, segi empat tali busur, serta garis singgung.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F, elemen Geometri: menerapkan, mengidentifikasi, dan menjelaskan hubungan antara unsur-unsur lingkaran untuk menyelesaikan masalah.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Mengenali unsur lingkaran: jari-jari, diameter, tali busur, apotema, busur, juring, tembereng.
  • Memakai hubungan sudut pusat dan sudut keliling.
  • Menghitung panjang busur dan luas juring.
  • Memakai sifat segi empat tali busur.
  • Menghitung panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran dan garis singgung persekutuan.

📚Materi

1. Sudut pusat dan sudut keliling

Lingkaran berpusat O dengan titik A, B, dan C pada lingkaran. Sudut pusat AOB bernilai 2 alfa dan sudut keliling ACB bernilai alfa, keduanya menghadap busur AB.
Sudut pusat = 2 × sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
  • Sudut pusat = 2 × sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
  • Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.
  • Sudut keliling yang menghadap diameter = 90°.

2. Busur dan juring

\[ \text{panjang busur} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r, \qquad \text{luas juring} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \]

Luas tembereng = luas juring − luas segitiga yang dibentuk dua jari-jari dan tali busurnya. Panjang busur dan luas juring sebanding dengan sudut pusatnya.

3. Segi empat tali busur

Segi empat yang keempat titik sudutnya pada lingkaran: jumlah sudut yang berhadapan = 180°. Juga berlaku \( AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \) (teorema Ptolemaeus).

4. Garis singgung

Garis singgung tegak lurus jari-jari di titik singgungnya. Dari titik P di luar lingkaran berjarak d dari pusat:

\[ \text{panjang garis singgung} = \sqrt{d^2 - r^2} \]

Dua garis singgung dari titik yang sama sama panjang. Untuk dua lingkaran berjari-jari R dan r dengan jarak pusat d:

\[ \text{persekutuan luar} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}, \qquad \text{persekutuan dalam} = \sqrt{d^2 - (R + r)^2} \]

✏️Contoh soal

Pada lingkaran berpusat O dengan jari-jari 14 cm, sudut keliling ACB = 45°. Tentukan sudut pusat AOB, panjang busur AB, dan luas juring AOB \( (\pi = \tfrac{22}{7}) \).

Sudut pusat AOB = 2 × 45° = 90°.

\[ \text{busur } AB = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 22\ \text{cm}, \qquad \text{juring} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 196 = 154\ \text{cm}^2 \]
Periksa. Seperempat keliling (88 cm) = 22 cm; seperempat luas (616 cm²) = 154 cm².
Jebakan. Memakai sudut keliling 45° langsung dalam rumus busur. Rumus busur dan juring memakai sudut pusat.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Sudut pusat 130°. Berapa sudut keliling yang menghadap busur yang sama?
65°.
2. AB diameter lingkaran dan C titik pada lingkaran. Jika AC = 6 cm dan BC = 8 cm, berapa jari-jarinya?
∠ACB = 90°, AB = 10 cm, jari-jari 5 cm.
3. Segi empat ABCD tali busur dengan ∠A = 75° dan ∠B = 110°. Tentukan ∠C dan ∠D.
∠C = 180° − 75° = 105°; ∠D = 180° − 110° = 70°.
4. Hitung luas juring bersudut 60° pada lingkaran berjari-jari 21 cm (π = 22/7).
\( \tfrac16 \times \tfrac{22}{7} \times 441 = 231 \) cm².
5. Titik P berjarak 25 cm dari pusat lingkaran berjari-jari 7 cm. Berapa panjang garis singgung dari P?
\( \sqrt{625 - 49} = 24 \) cm.
6. Dua roda berjari-jari 9 cm dan 4 cm, jarak pusatnya 13 cm, dihubungkan rantai di bagian luar. Berapa panjang garis singgung persekutuan luarnya?
\( \sqrt{169 - 25} = 12 \) cm.

🎯Latihan TKA

Belum ada soal latihan TKA yang khusus untuk topik ini. Kerjakan paket lengkapnya: TKA Matematika Paket 1 dan Paket 2.