Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › E.5 Trigonometri
E.5

Teorema Pythagoras dan Perbandingan Trigonometri

Fase E · Kelas X

Bagaimana mengukur tinggi menara tanpa memanjatnya, atau jarak kapal dari pelabuhan hanya dengan sudut dan satu jarak? Teorema Pythagoras dan perbandingan trigonometri menghubungkan sudut dengan panjang sisi segitiga siku-siku — alat dasar dalam survei, navigasi, dan arsitektur.

📋Capaian Pembelajaran

Fase E, elemen Geometri: mengaplikasikan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen) dari sudut lancip. Teorema Pythagoras dari Fase D adalah dasarnya, dan soal TKA juga memakai perluasan sederhana ke sudut tumpul.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menerapkan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
  • Menentukan sin, cos, tan dari sisi segitiga, dan perbandingan lain jika satu diketahui.
  • Menghafal nilai sudut istimewa 30°, 45°, 60°.
  • Menyelesaikan masalah sudut elevasi dan depresi.
  • Menentukan perbandingan trigonometri sudut tumpul dari sudut lancip pelurusnya.

📚Materi

1. Teorema Pythagoras

Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya. Tripel yang sering muncul: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 dan kelipatannya. Untuk lintasan berbelok tegak lurus (misalnya kapal ke timur lalu ke utara), jarak dari titik awal adalah sisi miringnya.

2. Perbandingan trigonometri

Segitiga siku-siku dengan sudut theta di kiri bawah. Sisi mendatar adalah sisi samping, sisi tegak adalah sisi depan, dan sisi miring menghubungkan keduanya. Di samping tertulis sin = depan per miring, cos = samping per miring, tan = depan per samping.
Sisi depan, samping, dan miring relatif terhadap sudut θ.
θ30°45°60°
sin θ\( \tfrac12 \)\( \tfrac12\sqrt2 \)\( \tfrac12\sqrt3 \)
cos θ\( \tfrac12\sqrt3 \)\( \tfrac12\sqrt2 \)\( \tfrac12 \)
tan θ\( \tfrac13\sqrt3 \)1\( \sqrt3 \)

Jika satu perbandingan diketahui, gambar segitiganya, cari sisi ketiga dengan Pythagoras, lalu baca perbandingan lain. Identitas dasar: \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) dan \( \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \).

3. Sudut elevasi dan depresi

Elevasi adalah sudut dari garis mendatar ke atas menuju objek; depresi dari garis mendatar ke bawah. Karena garis mendatar di kedua ujung sejajar, sudut depresi dari puncak sama dengan sudut elevasi dari bawah.

4. Sudut tumpul

Untuk \( 90^\circ < \theta < 180^\circ \) (kuadran II): \( \sin\theta = \sin(180^\circ - \theta) \) bernilai positif, sedangkan \( \cos\theta = -\cos(180^\circ - \theta) \) dan \( \tan\theta = -\tan(180^\circ - \theta) \) bernilai negatif. Contoh: \( \sin 150^\circ = \tfrac12 \), \( \cos 150^\circ = -\tfrac12\sqrt3 \).

✏️Contoh soal

Seorang siswa berdiri 30 m dari kaki menara dan melihat puncaknya dengan sudut elevasi 60°. Tinggi mata siswa 1,5 m. Berapa tinggi menara? Kemudian: jika \( \sin\alpha = \tfrac35 \) dan α tumpul, tentukan cos α dan tan α.
\[ \tan 60^\circ = \frac{h}{30} \Rightarrow h = 30\sqrt3 \approx 51{,}96\ \text{m} \]

Tinggi menara ≈ 51,96 + 1,5 = 53,46 m.

Segitiga acuan: depan 3, miring 5, samping 4. Karena α tumpul, \( \cos\alpha = -\tfrac45 \) dan \( \tan\alpha = -\tfrac34 \).

Periksa. \( (\tfrac35)^2 + (-\tfrac45)^2 = 1 \).
Jebakan. Lupa menambahkan tinggi mata, atau lupa tanda negatif cos dan tan untuk sudut tumpul.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Kapal berlayar 9 km ke timur lalu 12 km ke utara. Berapa jaraknya dari titik awal?
\( \sqrt{81 + 144} = 15 \) km.
2. Jika \( \tan\theta = \tfrac{5}{12} \) dan θ lancip, tentukan sin θ dan cos θ.
Miring 13: \( \sin\theta = \tfrac{5}{13} \), \( \cos\theta = \tfrac{12}{13} \).
3. Hitung \( \sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ + \tan 45^\circ \).
\( \tfrac12 \cdot \tfrac12 + 1 = \tfrac54 \).
4. Tangga 6 m bersandar pada tembok dan membentuk sudut 60° dengan lantai. Berapa tinggi ujung tangga di tembok?
\( 6 \sin 60^\circ = 3\sqrt3 \approx 5{,}2 \) m.
5. Dari puncak mercusuar setinggi 40 m, sebuah perahu terlihat dengan sudut depresi 45°. Berapa jarak perahu dari kaki mercusuar?
\( \tan 45^\circ = 40/d \Rightarrow d = 40 \) m.
6. Tentukan nilai \( \cos 120^\circ \) dan \( \tan 135^\circ \).
\( \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\tfrac12 \); \( \tan 135^\circ = -\tan 45^\circ = -1 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 13 PGK MCMA — Menerapkan teorema Pythagoras untuk menentukan posisi yang memenuhi syarat dalam permasalahan kontekstual.
  • Paket 1 · Soal 20 PGK Kategori — Menentukan nilai perbandingan trigonometri lain apabila diketahui nilai salah satu perbandingan trigonometri.
  • Paket 2 · Soal 13 PGK Kategori — Menerapkan teorema Pythagoras pada lintasan kapal untuk menentukan jarak dari titik awal.
  • Paket 2 · Soal 19 PGK Kategori — Menggunakan perbandingan trigonometri sudut istimewa untuk menentukan tinggi dan jarak.
  • Paket 2 · Soal 20 PG — Menentukan nilai perbandingan trigonometri lain dari sinus sudut tumpul.