Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › E.3 Fungsi kuadrat
E.3

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Fase E · Kelas X

Lintasan bola yang ditendang, bentuk antena parabola, dan luas maksimum kebun yang dipagari — semuanya dimodelkan fungsi kuadrat. Halaman ini membahas cara menemukan akar persamaan kuadrat (termasuk akar imajiner), sifat akar dari diskriminan, dan cara menggambar serta membaca grafiknya.

📋Capaian Pembelajaran

Fase E, elemen Aljabar dan Fungsi: menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner).

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus ABC.
  • Menentukan jenis akar dari diskriminan, termasuk akar imajiner.
  • Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar.
  • Menggambar grafik fungsi kuadrat dan menentukan nilai maksimum atau minimum.

📚Materi

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat

Bentuk umum \( ax^2 + bx + c = 0 \), \( a \neq 0 \).

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Jika mudah difaktorkan, pemfaktoran lebih cepat: \( x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \) atau \( x = -1 \).

2. Diskriminan dan akar imajiner

\( D = b^2 - 4ac \). D > 0: dua akar real berbeda; D = 0: akar kembar; D < 0: tidak ada akar real — akarnya imajiner (kompleks), ditulis dengan \( i = \sqrt{-1} \). Contoh: \( x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i \); \( x^2 - 2x + 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i \).

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]

Persamaan kuadrat dengan akar p dan q: \( x^2 - (p + q)x + pq = 0 \).

3. Grafik fungsi kuadrat

Parabola y = x² − 2x − 3 terbuka ke atas, memotong sumbu x di (−1, 0) dan (3, 0), memotong sumbu y di (0, −3), dengan titik puncak (1, −4) dan sumbu simetri x = 1.
Grafik \(y = x^2 - 2x - 3\): titik potong sumbu, sumbu simetri, dan titik puncak.
  • a > 0 terbuka ke atas (punya minimum); a < 0 terbuka ke bawah (punya maksimum).
  • Sumbu simetri \( x_p = -\dfrac{b}{2a} \); nilai ekstrem \( y_p = -\dfrac{D}{4a} \) atau \( f(x_p) \).
  • Titik potong sumbu y: (0, c). Titik potong sumbu x: akar-akar persamaan (jika D ≥ 0).
  • D < 0 dan a > 0: grafik selalu di atas sumbu x (definit positif).

✏️Contoh soal

Pak Tono memiliki kawat 40 m untuk memagari kebun persegi panjang yang salah satu sisinya berbatasan dengan tembok (tidak perlu dipagari). Tentukan ukuran kebun agar luasnya maksimum.

Misalkan sisi tegak lurus tembok x, sisi sejajar tembok \( 40 - 2x \). Luas:

\[ L(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x \]

\( x_p = -\dfrac{40}{2(-2)} = 10 \) m, sisi lainnya 20 m, luas maksimum \( L(10) = 200 \) m².

Periksa. x = 9 memberi 9 × 22 = 198 dan x = 11 memberi 11 × 18 = 198 — keduanya lebih kecil dari 200.
Jebakan. Membuat kebun berbentuk persegi 10 × 10 seperti pada pagar empat sisi. Karena satu sisi tidak dipagari, bentuk optimumnya 10 × 20.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Selesaikan \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \).
\( (2x + 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = -\tfrac12 \) atau \( x = 3 \).
2. Tentukan akar \( x^2 + 6x + 13 = 0 \).
\( D = 36 - 52 = -16 \); \( x = \dfrac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i \).
3. Untuk nilai m berapa \( x^2 + mx + 9 = 0 \) memiliki akar kembar?
\( m^2 - 36 = 0 \Rightarrow m = \pm 6 \).
4. Akar-akar \( x^2 - 5x + 3 = 0 \) adalah α dan β. Hitung \( \alpha^2 + \beta^2 \).
\( (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 6 = 19 \).
5. Tentukan titik puncak \( y = -x^2 + 4x + 1 \).
\( x_p = 2 \), \( y_p = -4 + 8 + 1 = 5 \); puncak (2, 5), maksimum.
6. Bola dilempar ke atas dengan tinggi \( h(t) = 20t - 5t^2 \) meter. Kapan bola mencapai tinggi maksimum, dan berapa tingginya?
\( t = \dfrac{-20}{2(-5)} = 2 \) s; \( h(2) = 40 - 20 = 20 \) m.

🎯Latihan TKA

Belum ada soal latihan TKA yang khusus untuk topik ini. Kerjakan paket lengkapnya: TKA Matematika Paket 1 dan Paket 2.