Fungsi Komposisi, Fungsi Invers, dan Transformasi Fungsi — Materi Matematika SMA

Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › F.2 Komposisi dan invers

Kapas diolah menjadi benang, benang menjadi kain: dua proses berurutan seperti itu adalah fungsi komposisi. Mengubah suhu dari Celsius ke Fahrenheit lalu kembali lagi memakai fungsi invers. Dengan transformasi, grafik fungsi dapat digeser, dicerminkan, dan diregangkan untuk memodelkan situasi nyata.

📋Capaian Pembelajaran

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi: menentukan fungsi invers, komposisi fungsi, dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat, eksponensial).

🎯Yang perlu kamu kuasai

Menentukan daerah asal dan daerah hasil.
Menghitung \( (f \circ g)(x) \) dan \( (g \circ f)(x) \) serta menyadari bahwa urutannya penting.
Menentukan invers fungsi dari rumus maupun grafik.
Menerapkan translasi, refleksi, dan dilatasi pada grafik fungsi.

📚Materi

1. Daerah asal dan daerah hasil

Daerah asal (domain) adalah nilai x yang boleh dimasukkan: penyebut tidak boleh nol, bilangan di bawah akar kuadrat tidak boleh negatif. Daerah hasil (range) adalah semua nilai yang dihasilkan. Contoh: \( f(x) = \sqrt{x - 2} \) memiliki domain \( x \ge 2 \) dan range \( y \ge 0 \).

2. Fungsi komposisi

\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \quad \text{— kerjakan } g \text{ dulu, lalu } f \]

Umumnya \( f \circ g \neq g \circ f \). Contoh: \( f(x) = 2x + 1 \), \( g(x) = x^2 \): \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \), sedangkan \( (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 \). Dalam konteks produksi bertahap, fungsi tahap pertama berada di “dalam”.

3. Fungsi invers

Invers \( f^{-1} \) membalik kerja f: jika \( f(a) = b \) maka \( f^{-1}(b) = a \). Cara mencarinya: tulis \( y = f(x) \), nyatakan x dalam y, lalu tukar nama variabel. Grafik \( f^{-1} \) adalah pencerminan grafik f terhadap garis \( y = x \). Hanya fungsi satu-satu yang memiliki invers berupa fungsi.

\[ f(x) = ax + b \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}, \qquad f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a} \]

Dari grafik garis lurus: baca dua titik untuk menentukan f, atau langsung baca grafik terbalik — mencari \( f^{-1}(k) \) berarti mencari x yang membuat \( f(x) = k \).

4. Transformasi fungsi

Bentuk	Pengaruh pada grafik y = f(x)
\( f(x) + k \)	geser k satuan ke atas (k > 0)
\( f(x - h) \)	geser h satuan ke kanan (h > 0)
\( -f(x) \)	cermin terhadap sumbu x
\( f(-x) \)	cermin terhadap sumbu y
\( a f(x) \)	regang tegak dengan faktor a

Contoh: \( y = (x - 3)^2 + 2 \) adalah \( y = x^2 \) yang digeser 3 ke kanan dan 2 ke atas, sehingga puncaknya di (3, 2).

✏️Contoh soal

Sebuah pabrik mengolah x ton kedelai menjadi \( g(x) = 0{,}8x \) ton tahu mentah, lalu tahu mentah diolah menjadi \( f(y) = 5y - 2 \) ribu potong tahu goreng. Tentukan banyak tahu goreng dari 10 ton kedelai, dan berapa ton kedelai yang diperlukan untuk 58 ribu potong.

\( (f \circ g)(x) = 5(0{,}8x) - 2 = 4x - 2 \). Untuk x = 10: \( 38 \) ribu potong.

Untuk 58 ribu potong: \( 4x - 2 = 58 \Rightarrow x = 15 \) ton; ini sama dengan \( (f \circ g)^{-1}(58) = \dfrac{58 + 2}{4} = 15 \).

Periksa. 15 ton → 12 ton tahu mentah → 5(12) − 2 = 58 ribu potong.

Jebakan. Menghitung \( g(f(x)) \). Tahap pertama (kedelai → tahu mentah) harus dikerjakan lebih dulu.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Tentukan domain \( f(x) = \dfrac{3}{x - 4} \).

Semua bilangan real kecuali x = 4.

2. \( f(x) = x - 3 \), \( g(x) = x^2 + 1 \). Hitung \( (f \circ g)(2) \) dan \( (g \circ f)(2) \).

\( f(g(2)) = f(5) = 2 \); \( g(f(2)) = g(-1) = 2 \). Kebetulan sama di x = 2, tetapi rumus umumnya berbeda: \( x^2 - 2 \) dan \( x^2 - 6x + 10 \).

3. Tentukan invers \( f(x) = 3x - 6 \) dan hitung \( f^{-1}(9) \).

\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3} \); \( f^{-1}(9) = 5 \).

4. Konversi suhu \( F = \tfrac95 C + 32 \). Tentukan fungsi inversnya dan suhu Celsius untuk 104 °F.

\( C = \tfrac59(F - 32) \); \( C = \tfrac59 \cdot 72 = 40 \) °C.

5. Tentukan invers \( f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \).

\( f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} \), \( x \neq 2 \).

6. Grafik \( y = 2^x \) digeser 1 satuan ke kanan dan 3 ke bawah. Tuliskan persamaannya dan asimtot datarnya.

\( y = 2^{x - 1} - 3 \); asimtot \( y = -3 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

Paket 1 · Soal 4 PG — Menentukan nilai invers fungsi linear dari grafik dan menerapkannya dalam permasalahan kontekstual.
Paket 1 · Soal 5 PGK Kategori — Menganalisis fungsi komposisi dua tahap produksi dan menggunakannya untuk menentukan nilai tertentu.
Paket 2 · Soal 4 PG — Menentukan nilai fungsi komposisi dan membedakan urutan komposisi.
Paket 2 · Soal 5 PG — Menentukan invers fungsi linear dari grafik konversi suhu dan menggunakannya.