Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › E.4 Fungsi eksponensial
E.4

Persamaan dan Fungsi Eksponensial

Fase E · Kelas X

Bakteri yang membelah dua setiap jam, penurunan kadar obat dalam darah, dan tabungan dengan bunga majemuk tumbuh atau menyusut dengan perbandingan tetap — itulah perilaku eksponensial. Halaman ini membahas grafik fungsi eksponensial, model pertumbuhan dan peluruhan, serta persamaan eksponensial dengan bilangan pokok sama.

📋Capaian Pembelajaran

Fase E, elemen Aljabar dan Fungsi: menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan eksponensial (berbasis/bilangan pokok sama) dan fungsi eksponensial.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menggambar dan membaca grafik \( y = a^x \) untuk a > 1 dan 0 < a < 1.
  • Menyusun model pertumbuhan dan peluruhan eksponensial dari soal cerita.
  • Menyelesaikan persamaan eksponensial dengan menyamakan bilangan pokok.

📚Materi

1. Grafik

Grafik y = 2 pangkat x yang naik dari kiri ke kanan dan y = setengah pangkat x yang turun; keduanya melalui titik (0, 1) dan mendekati sumbu x tanpa menyentuhnya.
Fungsi eksponensial naik (a > 1) dan turun (0 < a < 1). Keduanya melalui (0, 1) dengan asimtot datar y = 0.
  • Daerah asal semua bilangan real; daerah hasil \( y > 0 \); grafik tidak pernah memotong sumbu x.
  • \( y = a^x \) dan \( y = (1/a)^x \) saling cermin terhadap sumbu y.
  • \( y = k \cdot a^x \) memotong sumbu y di (0, k).

2. Pertumbuhan dan peluruhan

\[ N(t) = N_0 (1 + r)^t \ \text{(tumbuh)}, \qquad N(t) = N_0 (1 - r)^t \ \text{(meluruh)} \]

Untuk penggandaan setiap T satuan waktu: \( N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T} \); untuk waktu paruh T: \( N(t) = N_0 \cdot (\tfrac12)^{t/T} \).

3. Persamaan eksponensial

Jika \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) dengan a > 0, a ≠ 1, maka \( f(x) = g(x) \). Langkahnya: tulis kedua ruas dalam bilangan pokok yang sama. Jika \( a^{f(x)} = 1 \), maka \( f(x) = 0 \).

✏️Contoh soal

Selesaikan \( 4^{x+1} = 8^{x-1} \). Kemudian: sebuah zat radioaktif bermassa 80 g memiliki waktu paruh 5 hari. Berapa sisanya setelah 20 hari?

\( 4^{x+1} = 2^{2x+2} \) dan \( 8^{x-1} = 2^{3x-3} \). Maka \( 2x + 2 = 3x - 3 \Rightarrow x = 5 \).

\[ N = 80 \cdot \left(\tfrac12\right)^{20/5} = 80 \cdot \tfrac{1}{16} = 5\ \text{g} \]
Periksa. \( 4^6 = 4096 = 8^4 \). Untuk peluruhan: 80 → 40 → 20 → 10 → 5 setelah empat kali 5 hari.
Jebakan. Menyamakan pangkat sebelum bilangan pokok disamakan (menulis x + 1 = x − 1).

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Selesaikan \( 3^{2x - 1} = 27 \).
\( 2x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \).
2. Selesaikan \( 25^{x} = \dfrac{1}{125} \).
\( 5^{2x} = 5^{-3} \Rightarrow x = -\tfrac32 \).
3. Selesaikan \( 2^{x^2 - 4} = 1 \).
\( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).
4. Bakteri membelah dua setiap 30 menit. Awalnya 100 sel. Berapa sel setelah 3 jam?
6 kali penggandaan: \( 100 \cdot 2^6 = 6.400 \) sel.
5. Harga mobil Rp200 juta turun 10% per tahun. Tuliskan modelnya dan nilai setelah 2 tahun.
\( V = 200(0{,}9)^t \) juta; \( V(2) = 162 \) juta.
6. Grafik \( y = k \cdot 3^x \) melalui (2, 18). Tentukan k dan titik potong sumbu y.
\( 9k = 18 \Rightarrow k = 2 \); memotong sumbu y di (0, 2).

🎯Latihan TKA

Belum ada soal latihan TKA yang khusus untuk topik ini. Kerjakan paket lengkapnya: TKA Matematika Paket 1 dan Paket 2.