Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › E.1 Bilangan real
E.1

Bilangan Real: Himpunan, Pangkat, Bentuk Akar, dan Logaritma

Fase E · Kelas X

Pangkat, akar, dan logaritma adalah tiga cara memandang hubungan yang sama: \( 2^3 = 8 \), \( \sqrt[3]{8} = 2 \), dan \( {}^2\log 8 = 3 \). Menguasai sifat-sifatnya membuat perhitungan besar menjadi ringkas, dan menjadi dasar fungsi eksponensial, bunga majemuk, serta pertumbuhan penduduk.

📋Capaian Pembelajaran

Fase E, elemen Bilangan: menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan), dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. Bentuk akar dan logaritma adalah penerapan langsungnya. Halaman ini juga mengulang himpunan bilangan real (rasional dan irasional), yang ikut diuji dalam TKA.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Membedakan bilangan rasional dan irasional serta mengoperasikan himpunan.
  • Menerapkan sifat pangkat bulat, nol, negatif, dan pecahan.
  • Menyederhanakan bentuk akar dan merasionalkan penyebut.
  • Menerapkan sifat-sifat logaritma.

📚Materi

1. Himpunan bilangan real

Bilangan rasional dapat ditulis \( \tfrac{a}{b} \) (a, b bulat, b ≠ 0); desimalnya berhenti atau berulang (0,75; 0,333…). Bilangan irasional tidak dapat ditulis demikian; desimalnya tak berhenti dan tak berulang: \( \sqrt{2} \), \( \pi \). Jumlah rasional dan irasional selalu irasional, tetapi jumlah atau hasil kali dua bilangan irasional bisa rasional: \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \).

Operasi himpunan: gabungan \( A \cup B \) (anggota A atau B), irisan \( A \cap B \) (anggota keduanya), selisih \( A - B \) (anggota A yang bukan anggota B), komplemen \( A^c \) (anggota semesta yang bukan anggota A). Diagram Venn membantu membacanya.

2. Sifat pangkat

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}, \quad (ab)^n = a^n b^n \]
\[ a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a \neq 0) \]

3. Bentuk akar

Sederhanakan dengan faktor kuadrat sempurna: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \). Hanya akar sejenis yang dapat dijumlahkan: \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \). Merasionalkan penyebut:

\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}, \qquad \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c} \]

4. Logaritma

\( {}^a\log b = c \iff a^c = b \) dengan \( a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0 \).

\[ {}^a\log (bc) = {}^a\log b + {}^a\log c, \qquad {}^a\log \frac{b}{c} = {}^a\log b - {}^a\log c \]
\[ {}^a\log b^n = n \cdot {}^a\log b, \qquad {}^a\log b = \frac{\log b}{\log a}, \qquad {}^a\log b \cdot {}^b\log c = {}^a\log c \]

✏️Contoh soal

Sederhanakan \( \dfrac{8^{\frac23} \cdot 27^{\frac13}}{16^{\frac34}} \), lalu rasionalkan \( \dfrac{6}{3 - \sqrt{3}} \).

\( 8^{\frac23} = (2^3)^{\frac23} = 2^2 = 4 \), \( 27^{\frac13} = 3 \), \( 16^{\frac34} = (2^4)^{\frac34} = 2^3 = 8 \). Hasil: \( \dfrac{4 \cdot 3}{8} = \dfrac32 \).

\[ \frac{6}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = 3 + \sqrt{3} \]
Periksa. \( 3 - \sqrt3 \approx 1{,}27 \) dan \( 6 / 1{,}27 \approx 4{,}73 = 3 + 1{,}73 \). Cocok.
Jebakan. Mengalikan dengan \( \sqrt{3} \) saja. Untuk penyebut berbentuk selisih, kalikan dengan sekawannya.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Benar atau salah: hasil kali dua bilangan irasional selalu irasional.
Salah. Contoh \( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = 6 \).
2. S = {1, 2, …, 10}, A = bilangan genap, B = bilangan prima. Tentukan \( A \cap B \), \( A - B \), dan \( (A \cup B)^c \).
\( A \cap B = \{2\} \); \( A - B = \{4, 6, 8, 10\} \); \( A \cup B = \{2,3,4,5,6,7,8,10\} \), komplemennya \( \{1, 9\} \).
3. Sederhanakan \( \dfrac{a^{-2} b^3}{a^{3} b^{-1}} \).
\( a^{-5} b^{4} = \dfrac{b^4}{a^5} \).
4. Sederhanakan \( \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} \).
\( 5\sqrt2 + 3\sqrt2 - 2\sqrt2 = 6\sqrt2 \).
5. Hitung \( {}^2\log 24 - {}^2\log 3 + {}^3\log 81 \).
\( {}^2\log 8 + 4 = 3 + 4 = 7 \).
6. Jika \( \log 2 = p \) dan \( \log 3 = q \), nyatakan \( \log 12 \) dalam p dan q.
\( \log(4 \cdot 3) = 2p + q \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 1 PG — Menyederhanakan bentuk bilangan berpangkat pecahan menggunakan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat.
  • Paket 1 · Soal 2 PGK Kategori — Menganalisis kebenaran pernyataan tentang sifat bilangan rasional dan irasional.
  • Paket 1 · Soal 3 PG — Menentukan hasil operasi gabungan, irisan, selisih dan komplemen himpunan bilangan dari diagram Venn.
  • Paket 2 · Soal 1 PG — Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar.
  • Paket 2 · Soal 2 PGK MCMA — Menerapkan sifat-sifat logaritma untuk menilai kebenaran beberapa hasil perhitungan.