Kaidah Pencacahan dan Peluang Kejadian Majemuk
Berapa banyak kata sandi empat digit yang mungkin? Berapa peluang dua kartu yang diambil sama-sama as? Kaidah pencacahan menghitung
banyaknya kemungkinan, dan peluang memakainya untuk menilai seberapa mungkin suatu kejadian — dari permainan sampai asuransi dan
uji kesehatan.
📋Capaian Pembelajaran
Fase F, elemen Analisis Data dan Peluang: menjelaskan peluang dan menentukan frekuensi harapan dari kejadian majemuk; menyelidiki konsep kejadian saling bebas dan saling lepas dan menentukan peluangnya; serta memahami konsep peluang bersyarat dan kejadian yang saling bebas menggunakan konsep permutasi dan kombinasi.
🎯Yang perlu kamu kuasai
- Menerapkan aturan penjumlahan dan perkalian, termasuk dengan syarat.
- Membedakan permutasi dan kombinasi.
- Menentukan ruang sampel dan peluang kejadian, termasuk peluang geometris (roda putar).
- Menghitung peluang kejadian saling lepas, saling bebas, dan bersyarat.
- Menghitung frekuensi harapan.
📚Materi
1. Kaidah pencacahan
- Aturan perkalian: jika tahap pertama dapat terjadi dengan m cara dan tahap kedua n cara, keduanya dapat terjadi dengan m × n cara. Isi dulu posisi yang bersyarat (misalnya digit pertama tidak boleh 0, digit terakhir harus genap).
- Aturan penjumlahan: jika pilihan A (m cara) atau B (n cara) tidak dapat terjadi bersamaan, total m + n cara.
- Permutasi (urutan diperhatikan): \( P(n, r) = \dfrac{n!}{(n - r)!} \). Permutasi dengan unsur sama: \( \dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots} \). Permutasi siklis: \( (n - 1)! \).
- Kombinasi (urutan tidak diperhatikan): \( C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!} \).
2. Peluang kejadian
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}, \qquad P(A^c) = 1 - P(A), \qquad f_h(A) = n \times P(A) \]
Untuk roda putar dengan juring tidak sama besar, peluang = \( \dfrac{\text{sudut juring}}{360^\circ} \). Pada pelemparan dua dadu, n(S) = 36; daftar pasangan berurutan agar tidak ada yang terlewat.
3. Kejadian majemuk
- Umum: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).
- Saling lepas (tidak dapat terjadi bersamaan): \( P(A \cap B) = 0 \), sehingga \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \).
- Saling bebas (yang satu tidak memengaruhi yang lain): \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \).
- Bersyarat: \( P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \). Pengambilan tanpa pengembalian mengubah isi kantong, sehingga peluang tahap kedua bergantung pada hasil tahap pertama.
✏️Contoh soal
Kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambil dua bola berwarna
sama, dan peluang bola kedua merah jika bola pertama merah.
Dari diagram pohon: \( P(MM) = \tfrac35 \cdot \tfrac24 = \tfrac{6}{20} \) dan \( P(PP) = \tfrac25 \cdot \tfrac14 = \tfrac{2}{20} \).
\[ P(\text{sama}) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{2}{5} \]
Peluang bersyarat \( P(M_2 \mid M_1) = \tfrac24 = \tfrac12 \) — setelah satu merah diambil, tersisa 2 merah dari 4 bola.
Periksa. Dengan kombinasi: \( \dfrac{C(3,2) + C(2,2)}{C(5,2)} = \dfrac{3 + 1}{10} = \dfrac25 \). Cocok.
Jebakan. Memakai \( \tfrac35 \cdot \tfrac35 \) seolah-olah bola dikembalikan.
📝Latihan
Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.
1. Berapa banyak bilangan tiga angka berbeda dari angka 0–9 yang angka pertamanya bukan 0 dan angka terakhirnya genap?
Kasus angka terakhir 0: 9 × 8 = 72. Kasus angka terakhir 2, 4, 6, 8: angka pertama 8 pilihan (bukan 0 dan bukan angka terakhir), tengah 8 pilihan → 4 × 8 × 8 = 256. Total 328.
2. Dari 8 siswa akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa susunan yang mungkin? Bagaimana jika hanya dipilih 3 perwakilan tanpa jabatan?
Permutasi P(8,3) = 336; kombinasi C(8,3) = 56.
3. Dua dadu dilempar. Berapa peluang jumlah mata dadu 9?
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3): \( \tfrac{4}{36} = \tfrac19 \).
4. Roda putar dibagi menjadi juring 90° (merah), 120° (biru), dan sisanya kuning. Berapa peluang jarum berhenti di kuning?
Juring kuning 150°: \( \tfrac{150}{360} = \tfrac{5}{12} \).
5. Peluang hujan besok 0,3 dan peluang Andi terlambat (tidak bergantung hujan) 0,2. Berapa peluang hujan dan Andi terlambat?
Saling bebas: 0,3 × 0,2 = 0,06.
6. Peluang sebuah bibit tidak tumbuh 0,15. Dari 400 bibit yang ditanam, berapa yang diharapkan tumbuh?
\( 400 \times (1 - 0{,}15) = 340 \) bibit.
🎯Latihan TKA untuk topik ini
Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.
- Paket 1 · Soal 22 PG — Menyelesaikan permasalahan kontekstual dengan menerapkan aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
- Paket 1 · Soal 24 PG — Menentukan peluang suatu kejadian dari roda putar dengan juring yang tidak sama besar.
- Paket 1 · Soal 25 PG — Menerapkan konsep peluang kejadian majemuk (bersyarat, tanpa pengembalian).
- Paket 2 · Soal 23 PG — Menggunakan aturan penjumlahan dan perkalian dengan syarat pada digit pertama dan terakhir.
- Paket 2 · Soal 24 PGK Kategori — Menentukan peluang kejadian pada pelemparan dua dadu dengan mendaftar ruang sampel.
- Paket 2 · Soal 25 PG — Menentukan frekuensi harapan dari peluang komplemen suatu kejadian.