Sudut, Kesebangunan, Geometri Ruang, dan Transformasi — Materi Matematika SMA

Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › D.1 Geometri dan transformasi

Soal geometri di TKA Matematika SMA banyak bertumpu pada materi SMP: sudut pada garis sejajar, segitiga sebangun, kedudukan garis pada kubus, dan transformasi titik. Halaman ini merangkumnya dalam satu tempat dengan contoh yang setara tingkat SMA.

📋Posisi dalam kurikulum

Materi ini berasal dari elemen Geometri Fase D (SMP): hubungan sudut pada dua garis sejajar yang dipotong garis transversal, kekongruenan dan kesebangunan, teorema Pythagoras, serta transformasi tunggal (refleksi, translasi, rotasi, dilatasi) pada bidang koordinat. Fase E dan F tidak mengulangnya, tetapi soal TKA SMA tetap mengujinya — termasuk kedudukan dan jarak pada bangun ruang.

🎯Yang perlu kamu kuasai

Menentukan besar sudut dari pasangan sudut pada garis sejajar.
Memakai kesebangunan untuk menentukan panjang sisi.
Menentukan kedudukan dua garis atau garis dan bidang pada kubus, serta sudut dan jarak sederhana.
Menentukan bayangan titik oleh translasi, refleksi, rotasi, dilatasi, dan komposisinya.

📚Materi

1. Sudut pada garis sejajar

Dua garis sejajar k dan l dipotong garis transversal di titik P dan Q. Sudut di P diberi nomor 1 sampai 4 dan di Q nomor 5 sampai 8. Sudut 1 dan 5 sehadap, sudut 3 dan 5 dalam berseberangan, sudut 4 dan 5 dalam sepihak berjumlah 180 derajat, sudut 1 dan 7 luar berseberangan. — Pasangan sudut pada dua garis sejajar yang dipotong garis transversal.

Sudut sehadap, dalam berseberangan, dan luar berseberangan sama besar; sudut dalam sepihak dan luar sepihak berjumlah 180°. Sudut bertolak belakang (misalnya ∠1 dan ∠3) juga sama besar. Jumlah sudut dalam segitiga 180°.

2. Kesebangunan

Dua bangun sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Dua segitiga sebangun cukup jika dua pasang sudutnya sama besar. Pola yang sering muncul: garis sejajar alas di dalam segitiga.

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \quad (DE \parallel BC) \]

3. Kedudukan dan jarak pada kubus

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Garis biru putus-putus AC adalah diagonal sisi, garis merah EC adalah diagonal ruang. Rusuk yang tersembunyi digambar putus-putus. — Kubus ABCD.EFGH: diagonal sisi \(a\sqrt{2}\), diagonal ruang \(a\sqrt{3}\).

Dua garis: berpotongan (satu titik persekutuan), sejajar (sebidang, tidak berpotongan), atau bersilangan (tidak sebidang — tidak sejajar dan tidak berpotongan), misalnya AB dan CG.
Garis dan bidang: terletak pada bidang, sejajar bidang, atau menembus bidang. Garis tegak lurus bidang jika tegak lurus dua garis berpotongan pada bidang itu — misalnya AE ⟂ bidang ABCD.
Sudut: AC dan AF adalah diagonal sisi, dan segitiga ACF sama sisi (ketiga sisinya \( a\sqrt{2} \)), sehingga sudutnya 60°.
Jarak titik ke garis: panjang ruas garis tegak lurus dari titik ke garis — sering dihitung dengan luas segitiga: \( \text{jarak} = \dfrac{2 \times \text{luas}}{\text{alas}} \).

4. Transformasi geometri

Transformasi	Bayangan titik (x, y)
Translasi oleh \( \binom{a}{b} \)	\( (x + a,\ y + b) \)
Refleksi sumbu x / sumbu y	\( (x, -y) \) / \( (-x, y) \)
Refleksi garis y = x / y = −x	\( (y, x) \) / \( (-y, -x) \)
Rotasi pusat O sebesar 90° (berlawanan jarum jam)	\( (-y, x) \)
Rotasi pusat O sebesar 180°	\( (-x, -y) \)
Rotasi pusat O sebesar −90° (searah jarum jam)	\( (y, -x) \)
Dilatasi pusat (a, b), faktor k	\( (a + k(x - a),\ b + k(y - b)) \)

Pada komposisi transformasi, kerjakan berurutan: bayangan pertama menjadi titik awal transformasi kedua. Faktor dilatasi negatif membalik bayangan ke sisi lain pusat.

✏️Contoh soal

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke diagonal ruang EC.

BC tegak lurus bidang ABFE, sehingga BC ⟂ EB dan segitiga EBC siku-siku di B, dengan \( EB = 6\sqrt{2} \), \( BC = 6 \), \( EC = 6\sqrt{3} \).

Jarak B ke EC adalah tinggi segitiga terhadap sisi miring:

\[ d = \frac{EB \cdot BC}{EC} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 6}{6\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}\ \text{cm} \]

Periksa. \( 2\sqrt{6} \approx 4{,}9 \) cm — lebih pendek dari BC (6 cm) dan EB (8,5 cm), sesuai karena jarak tegak lurus adalah yang terpendek.

Jebakan. Memakai panjang BG atau BH sebagai jaraknya. Jarak harus diukur tegak lurus terhadap garis.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Pada gambar garis sejajar di atas, ∠4 = 125°. Tentukan ∠5 dan ∠7.

∠4 dan ∠5 dalam sepihak, ∠5 = 55°. ∠7 bertolak belakang dengan ∠5, ∠7 = 55°.

2. Tiang setinggi 2 m membentuk bayangan 3 m; pada saat yang sama sebuah pohon membentuk bayangan 15 m. Berapa tinggi pohon?

\( \frac{t}{15} = \frac{2}{3} \Rightarrow t = 10 \) m.

3. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan pasangan garis BC dan EH, AB dan GH, serta AB dan FG.

BC dan EH sejajar; AB dan GH sejajar; AB dan FG bersilangan.

4. Titik A(3, −2) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O, lalu dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan bayangannya.

Rotasi: (2, 3). Refleksi sumbu x: (2, −3).

5. Titik P(5, 1) didilatasi dengan pusat (1, 3) dan faktor −2. Tentukan bayangannya.

\( (1 + (-2)(4),\ 3 + (-2)(-2)) = (-7, 7) \).

6. Diagonal sisi kubus 8√2 cm. Berapa panjang diagonal ruangnya?

Rusuk 8 cm, diagonal ruang \( 8\sqrt{3} \) cm.

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

Paket 1 · Soal 10 PG — Menentukan besar sudut menggunakan hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar yang dipotong garis lain.
Paket 1 · Soal 11 PGK MCMA — Menentukan pasangan garis yang bersilangan pada kubus.
Paket 1 · Soal 12 PG — Menentukan panjang sisi yang tidak diketahui dengan menerapkan konsep kesebangunan segitiga.
Paket 1 · Soal 14 PG — Menentukan bayangan titik oleh komposisi rotasi dan refleksi.
Paket 1 · Soal 15 PG — Menyelesaikan permasalahan kontekstual yang melibatkan jarak dua titik pada bangun ruang.
Paket 2 · Soal 10 PG — Menentukan besar sudut antara dua diagonal sisi kubus yang berpotongan.
Paket 2 · Soal 11 PGK MCMA — Menentukan kedudukan garis dan bidang (sejajar, tegak lurus, berpotongan, bersilangan) pada kubus.
Paket 2 · Soal 12 PG — Menggunakan kesebangunan dua persegi panjang untuk menentukan lebar bingkai.
Paket 2 · Soal 14 PG — Menentukan bayangan titik oleh dilatasi dengan pusat bukan titik asal dan faktor skala negatif.
Paket 2 · Soal 15 PG — Menentukan jarak titik ke garis (diagonal ruang) pada kubus.