Beranda › Learning Hub › Matematika SMA › E.2 Sistem linear
E.2

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Fase E · Kelas X

Toko roti punya tepung dan waktu oven terbatas; berapa roti tawar dan roti manis yang harus dibuat agar untung maksimal? Persoalan seperti ini dimodelkan dengan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear. Halaman ini membahas penyelesaian sistem dua dan tiga variabel, daerah penyelesaian, dan nilai optimum.

📋Capaian Pembelajaran

Fase E, elemen Aljabar dan Fungsi: menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear (dua variabel di Fase D, tiga variabel sebagai perluasannya) menjadi alat untuk menentukan titik potong batas daerah, dan juga diuji tersendiri di TKA.

🎯Yang perlu kamu kuasai

  • Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan eliminasi dan substitusi.
  • Memutuskan apakah data cukup untuk menentukan penyelesaian tunggal.
  • Menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
  • Menyusun model dari soal cerita dan menentukan nilai optimum fungsi tujuan.

📚Materi

1. Sistem persamaan linear

SPLDV \( a_1x + b_1y = c_1,\ a_2x + b_2y = c_2 \) diselesaikan dengan eliminasi (samakan koefisien satu variabel lalu kurangkan) atau substitusi. Jumlah penyelesaian:

  • tunggal jika \( \dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2} \) (garis berpotongan);
  • tidak ada jika \( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2} \) (garis sejajar);
  • tak hingga jika ketiga perbandingan sama (garis berimpit) — kedua persamaan sebenarnya satu informasi, sehingga data tidak cukup.

SPLTV (tiga variabel, tiga persamaan): eliminasi satu variabel dari dua pasang persamaan, sehingga terbentuk SPLDV; selesaikan, lalu substitusikan kembali.

2. Daerah penyelesaian

Gambar garis batas \( ax + by = c \) dari titik potong sumbu (x = 0 dan y = 0). Uji titik (0, 0): jika memenuhi pertidaksamaan, daerah yang memuat O adalah daerah penyelesaian (DP). Untuk ≤ atau ≥ garis batas ikut; syarat \( x \ge 0,\ y \ge 0 \) membatasi pada kuadran I.

Bidang koordinat dengan garis x + 2y = 12 dan 2x + y = 12. Daerah penyelesaian berwarna biru di kuadran pertama di bawah kedua garis, dengan titik pojok (0, 0), (6, 0), (4, 4), dan (0, 6).
Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 12, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dan titik-titik pojoknya.

3. Program linear

  1. Tentukan variabel (x, y), kendala (pertidaksamaan), dan fungsi tujuan \( f(x, y) = px + qy \).
  2. Gambar DP dan tentukan titik pojok (titik potong garis dengan eliminasi).
  3. Substitusikan setiap titik pojok ke fungsi tujuan; nilai terbesar adalah maksimum, terkecil minimum.

✏️Contoh soal

Seorang perajin membuat tas (x) dan dompet (y). Satu tas memerlukan 1 jam menjahit dan 2 jam merakit; satu dompet 2 jam menjahit dan 1 jam merakit. Tersedia 12 jam menjahit dan 12 jam merakit per hari. Keuntungan tas Rp40.000 dan dompet Rp30.000. Tentukan keuntungan maksimum.

Kendala: \( x + 2y \le 12 \), \( 2x + y \le 12 \), \( x, y \ge 0 \). Tujuan: \( f = 40.000x + 30.000y \).

Titik potong kedua garis: kurangkan \( 2(x + 2y) = 24 \) dengan \( 2x + y = 12 \) → \( 3y = 12 \), \( y = 4 \), \( x = 4 \).

Titik pojokf (rupiah)
(0, 0)0
(6, 0)240.000
(4, 4)280.000
(0, 6)180.000

Keuntungan maksimum Rp280.000 dengan membuat 4 tas dan 4 dompet.

Periksa. (4, 4): menjahit 4 + 8 = 12 jam, merakit 8 + 4 = 12 jam — tepat memakai semua waktu.
Jebakan. Langsung memilih titik dengan x terbesar karena tas lebih untung. Selalu uji semua titik pojok.

📝Latihan

Kerjakan di kertas, lalu buka jawabannya.

1. Selesaikan \( 2x + 3y = 13 \) dan \( x - y = -1 \).
\( x = y - 1 \Rightarrow 2y - 2 + 3y = 13 \Rightarrow y = 3,\ x = 2 \).
2. Harga 2 buku dan 1 pena Rp17.000; 4 buku dan 2 pena Rp34.000. Dapatkah harga satu buku ditentukan?
Tidak. Persamaan kedua adalah dua kali persamaan pertama (garis berimpit), jadi penyelesaiannya tak hingga.
3. Selesaikan \( x + y + z = 6 \), \( x - y + z = 2 \), \( 2x + y - z = 1 \).
Persamaan 1 − 2: \( 2y = 4 \), \( y = 2 \). Lalu \( x + z = 4 \) dan \( 2x - z = -1 \) → \( 3x = 3 \), \( x = 1 \), \( z = 3 \).
4. Apakah titik (3, 3) termasuk DP pada gambar program linear di atas?
Ya: \( 3 + 6 = 9 \le 12 \) dan \( 6 + 3 = 9 \le 12 \).
5. Tentukan nilai minimum \( f = 2x + 5y \) pada DP dengan titik pojok (0, 4), (2, 1), (6, 0).
f(0,4) = 20, f(2,1) = 9, f(6,0) = 12. Minimum 9 di (2, 1).
6. Tuliskan pertidaksamaan untuk daerah di bawah garis yang melalui (0, 5) dan (10, 0), termasuk garisnya.
Garis: \( x + 2y = 10 \). Daerah di bawahnya (memuat O): \( x + 2y \le 10 \).

🎯Latihan TKA untuk topik ini

Soal-soal berikut dari latihan TKA Matematika SMA menguji materi di halaman ini. Kerjakan langsung di halaman soal, lalu buka pembahasannya.

  • Paket 1 · Soal 6 PG — Menyelesaikan permasalahan kontekstual yang dimodelkan dengan sistem persamaan linear tiga variabel.
  • Paket 1 · Soal 9 PGK MCMA — Menganalisis daerah penyelesaian dan nilai optimum fungsi tujuan pada masalah program linear.
  • Paket 2 · Soal 6 PGK Kategori — Menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dari konteks belanja dan menilai pernyataan.
  • Paket 2 · Soal 9 PG — Memutuskan kecukupan data untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.